Category Archives: Kalkulus

Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri bentuk a.sin x + b.cos x = c

February 13, 2014 7:52 pm / Leave a comment

Rata-rata soal yang berbentuk persamaan trigonometri a.sin x + b.cos x = c diselesaikan dengan menggunakan rumus yang telah ditentukan, yakni mengubah persamaan a.sin x + b.cos y = c menjadi k.sin(x + A) = c, dimana:
k = √[(a²) + (b²)]
dan tanA = b/a
Seperti 2 contoh soal berikut ini:
1. Himpunan penyelesaian dari √6 sin x + √2 cos x = 2 dimana 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
Penyelesaian:

2. Himpunan penyelesaian dari sin x – √3 cos x = √2 dimana 0 ≤ x ≤ 180 adalah…
Penyelesaian:

Nah, bagaimana seandainya jika Anda ditanya asal muasal rumusnya? Atau bagaimana seandainya Anda melupakan ketentuan rumus tadi? Apa yang akan Anda lakukan? Jawabannya adalah lupakan rumus dan fokuslah pada pemahaman konsep.
Berikut ini adalah penyelesaian dua soal diatas melalui penjabaran konsep dan tidak terpaku pada ketentuan rumus:
1.

Silahkan bandingkan… :)

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Persamaan Differensial Metode Integrasi Langsung (1-3)

January 6, 2014 6:44 pm / 1 Comment

Persamaan differensial adalah persamaan matematika yang didalamnya mengandung turunan fungsi. Pencarian solusi sebuah persamaan differensial adalah suatu metode untuk menentukan nilai fungsi asal (sebelum diturunkan).
Ada beberapa metode yang digunakan dalam pencarian solusi umum persamaan differensial:

Metode Integrasi Langsung.
Metode Pemisahan Variabel.
Metode Uji Keeksakan
Metode Persamaan Linier.
Metode Bernoulli.

Untuk postingan kali ini, kami akan memfokuskan pada pencarian solusi umum sebuah persamaan differensial berorde satu dengan menggunakan metode integrasi langsung.
Kunci dari pencarian solusi PD dengan integrasi langsung adalah mengelompokkan dy dengan variabel y dan dx dengan variabel dx.
Perhatikan tiga soal berikut ini:
1. Solusi persamaan differensial untuk xy’ + y = 3 adalah…
Penyelesaian:

2. Solusi persamaan differensial untuk dy/dx – (4x + xy)/(y – xy) = 0 adalah…
Penyelesaian:

3. Solusi umum persamaan differensial y’ + (y-1)cos x = 0 adalah…
Penyelesaian:

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Harga Mutlak

December 1, 2013 11:00 pm / Leave a comment

Yang harus diperhatikan dalam menurunkan fungsi trigonometri harga mutlak adalah:

Kuadratkan fungsi agar menghilangkan bentuk harga mutlaknya.
Notasi turunan yang digunakan adalah bentuk Leibniz (dy/dx).
Telah menguasai identitas trigonometri dan segala jenis konversinya.

Untuk lebih jelasnya, simak soal dibawah ini:
1. Turunan pertama dari fungsi y = | cos x | adalah…
Penyelesaian:

2. Turunan pertama dari fungsi y = | sin x | adalah…
Penyelesaian:

Nah dari dua soal diatas, terlihat bahwa ketika fungsinya diturunkan, hasilnya tak jauh beda dengan fungsi yang diturunkan tanpa kurung harga mutlak. Apakah selalu seperti itu? Oh tentu tidak. Perhatikan satu soal lagi di bawah ini:
3. Turunan pertama dari fungsi y = | cos x – sin x | adalah?
Penyelesaian:

Bandingkan hasilnya ketika fungsi yang diturunkan tanpa kurung harga mutlak. Samakah dengan hasil diatas? Tidak.

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Implisit (1-5)

November 30, 2013 11:40 pm / Leave a comment

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.

Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

Untuk lebih memahami, perhatikan 5 pembahasan soal di bawah:

1. Turunan pertama dari fungsi implisit (x + 2y)^8 adalah…

Penyelesaian:

2. Nyatakan dalam dy/dx, turunan fungsi implisit x³ + 5 ln xy – 3xy^-1 = -4

Penyelesaian:

Jika fungsi implisit mengandung unsur trigonometri.

3. Turunan pertama dari fungsi implisit sin xy + xy² + x²y = 1 adalah…

Penyelesaian:

Jika fungsi implisit berbentuk fungsi pembagian.

4. Turunan pertama fungsi implisit f(x,y) = (y – x²)/(y² – x) adalah…

Penyelesaian:

Jika mencari titik kritis dari fungsi implisit.

5. Titik-titik kritis pada fungsi implisit y² – 2x²y + 4x³ + 20x² adalah…
Penyelesaian:

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar dengan Pendekatan Logaritma

November 23, 2013 1:05 pm / Leave a comment

Sebagaimana kita tahu, telah ditetapkan rumus turunan untuk berbagai bentuk fungsi, dari yang berbentuk fungsi penjumlahan/pengurangan, fungsi perkalian/pembagian sampai aturan rantai.
Contoh misalnya:

Turunan pertama dari fungsi f(x) = [ (x+13)^1/2]/(x-4)^2 adalah…

Nah, bagaimana seandainya jika tiba-tiba Anda dihadapkan pada sebuah soal turunan dengan bentuk yang disebutkan diatas, dan Anda kebetulan melupakan rumusnya?
Tenang. Ada sebuah alternatif yang bisa kita gunakan, yakni dengan pendekatan logaritma. Ada hanya tinggal memahami 2 rumus turunan logaritma berikut ini:

Maka, penyelesaian contoh soal diatas dengan menggunakan pendekatan logaritma:

Banyak jalan menuju Roma. Anda bisa memilih cara mana yang menurut Anda lebih mudah dipahami, intinya tetap harus menuju satu hasil.
Tapi, bagaimana kalau fungsinya berbentuk perkalian fungsi? Dan kebetulan lagi, lupa rumus turunan perkalian fungsinya, apakah pendekatan logaritma masih bisa digunakan?
Yap. Tentu saja. Contoh misalnya:

Turunan pertama dari fungsi f(x) = (6×-3)^3 . (2×-1) adalah…

Dengan cara yang sama seperti diatas, diperoleh:

Mudah, kan…
Dan kebetulan lagi soal turunan perkalian fungsi diatas dapat lebih mudah lagi dikerjakan dengan terlebih dahulu menyederhanakan fungsinya. Wow! Benar-benar banyak jalan yah…
f(x) = (6×-3)^3 . (2×-1)
f(x) = [3(2x-1)]^3 . (2×-1)
f(x) = 27.(2×-1)^3 . (2×-1)
f(x) = 27.(2×-1)^4
f'(x) = 4.27(2×-1)^3 . 2
f'(x) = 216(2×-1)^3
Terkadang pendekatan logaritma bukan hanya sebagai alternatif untuk menentukan turunan sebuah fungsi, tetapi bisa menjadi cara tunggal. Contoh misalnya:

Turunan pertama dari y = (x)^ln x adalah f'(x). Nilai dari f'(e) adalah…

Dengan menggunakan pendekatan logaritma:

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

November 20, 2013 6:12 pm / Leave a comment

Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, termasuk rumus dasar trigonometri yang harus dihapal, karena seringnya digunakan dalam sebuah perhitungan matematika trigonometri.
Asal-usul atau penurunan rumusnya diperoleh dari dua buah segitiga siku-siku yang saling berimpit di sisi tegak lurusnya.

Nah, melalui segelintir perhitungan, diperoleh rumus trigonometri sudut (α±β):

Berikut ini adalah penggunaan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, dalam berbagai variasi soal.
Untuk trigonometri Sinus.
1. Jika 0 < A < π, memenuhi A+B = (2/3)π dan sin A = 2sin B, maka tentukanlah (A – B) ?

Penyelesaian:

Untuk trigonometri Cosinus.
2. Diketahui sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Jika cos A = 4/5 dan cos B = 24/25. Tentukanlah nilai cos(a+B) ?
Penyelesaian:

3. Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari cos 18° ?

Penyelesaian:

Untuk trigonometri Tangen.
4. Jika tan(1/2)x = t, maka nilai sin x adalah…
Penyelesaian:

*Semoga Bermanfaat*

Soal dan Pembahasan Integral Dasar Fungsi Eksponensial (1-5)

October 30, 2013 9:07 pm / Leave a comment

Fungsi Eksponensial adalah Fungsi yang biasa dinotasikan dalam bentuk e^x (e pangkat x), dimana e adalah basis logaritma natural.
Dalam mengintegralkan fungsi eksponensial, ada 2 rumus dasar yang harus dipahami.