Category Archives: Matematika
Soal dan Pembahasan Matematika Modulus (1-7)
Modulus adalah operasi matematika yang
menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan yang
lain. Modulus biasa dinotasikan sebagai:
a mod b = c yang berarti n.b + c = a, dimana:
a = bilangan bulat
b = bilangan asli
c = sisa pembagian
Adapun sifat-sifat dasar Modulus adalah:
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini:
1. Tentukan nilai dari 9876543210 mod 12 ?
Penyelesaian:
2. Digit terakhir pada operasi 2014^2014 adalah…
Penyelesaian:
3. Nilai dari (97531.8642 – 13579.2468) mod 20 adalah…
Penyelesaian:
4. Tentukan nilai dari 567^890 mod 10 ?
Penyelesaian:
5. Tentukan angka terakhir dari 3^3 + 13^13 + 23^23 + …+ 2013^2013 ?
Penyelesaian:
Penerapan Modulus dalam Deret Aritmatika.
6. Tentukan angka terakhir dari 1+2+3+4+…+2013?
Penyelesaian:
7. Hitunglah (1+2+3+4)+(2+3+4+5)+(3+4+5+6)+…+(2010+2011+2012+2013) mod 2013 ?
Penyelesaian:
Sebagai catatan, ada beberapa soal yang tidak bisa dikerjakan dengan hanya memanfaatkan sifat-sifat dasar modulus. Untuk itu perlu adanya formula tingkat tinggi sebagai penyelesaiannya.
a mod b = c yang berarti n.b + c = a, dimana:
a = bilangan bulat
b = bilangan asli
c = sisa pembagian
Adapun sifat-sifat dasar Modulus adalah:
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini:
1. Tentukan nilai dari 9876543210 mod 12 ?
Penyelesaian:
2. Digit terakhir pada operasi 2014^2014 adalah…
Penyelesaian:
3. Nilai dari (97531.8642 – 13579.2468) mod 20 adalah…
Penyelesaian:
4. Tentukan nilai dari 567^890 mod 10 ?
Penyelesaian:
5. Tentukan angka terakhir dari 3^3 + 13^13 + 23^23 + …+ 2013^2013 ?
Penyelesaian:
Penerapan Modulus dalam Deret Aritmatika.
6. Tentukan angka terakhir dari 1+2+3+4+…+2013?
Penyelesaian:
7. Hitunglah (1+2+3+4)+(2+3+4+5)+(3+4+5+6)+…+(2010+2011+2012+2013) mod 2013 ?
Penyelesaian:
Sebagai catatan, ada beberapa soal yang tidak bisa dikerjakan dengan hanya memanfaatkan sifat-sifat dasar modulus. Untuk itu perlu adanya formula tingkat tinggi sebagai penyelesaiannya.
*Semoga Bermanfaat*
Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri bentuk a.sin x + b.cos x = c
Rata-rata soal yang berbentuk persamaan
trigonometri a.sin x + b.cos x = c diselesaikan dengan menggunakan rumus
yang telah ditentukan, yakni mengubah persamaan a.sin x + b.cos y = c
menjadi k.sin(x + A) = c, dimana:
k = √[(a²) + (b²)]
dan tanA = b/a
Seperti 2 contoh soal berikut ini:
1. Himpunan penyelesaian dari √6 sin x + √2 cos x = 2 dimana 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
Penyelesaian:
2. Himpunan penyelesaian dari sin x – √3 cos x = √2 dimana 0 ≤ x ≤ 180 adalah…
Penyelesaian:
Nah, bagaimana seandainya jika Anda ditanya asal muasal rumusnya? Atau bagaimana seandainya Anda melupakan ketentuan rumus tadi? Apa yang akan Anda lakukan? Jawabannya adalah lupakan rumus dan fokuslah pada pemahaman konsep.
Berikut ini adalah penyelesaian dua soal diatas melalui penjabaran konsep dan tidak terpaku pada ketentuan rumus:
1.
2.
Silahkan bandingkan… :)
k = √[(a²) + (b²)]
dan tanA = b/a
Seperti 2 contoh soal berikut ini:
1. Himpunan penyelesaian dari √6 sin x + √2 cos x = 2 dimana 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
Penyelesaian:
2. Himpunan penyelesaian dari sin x – √3 cos x = √2 dimana 0 ≤ x ≤ 180 adalah…
Penyelesaian:
Nah, bagaimana seandainya jika Anda ditanya asal muasal rumusnya? Atau bagaimana seandainya Anda melupakan ketentuan rumus tadi? Apa yang akan Anda lakukan? Jawabannya adalah lupakan rumus dan fokuslah pada pemahaman konsep.
Berikut ini adalah penyelesaian dua soal diatas melalui penjabaran konsep dan tidak terpaku pada ketentuan rumus:
1.
2.
Silahkan bandingkan… :)
*Semoga Bermanfaat*
Soal dan Pembahasan Nilai dan Vektor Eigen Suatu Matriks
Perhatikan gambar di bawah ini:
Jadi,
dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan
sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama
dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu
sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.
Berikut adalah 2 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:
1.
Penyelesaian:
2.
Penyelesaian:
Lihat Pula:
Soal dan Pembahasan Matematika Matriks (1-5)
Jadi,
dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan
sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama
dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu
sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.Berikut adalah 2 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:
1.
Penyelesaian:
2.
Penyelesaian:
Lihat Pula:Soal dan Pembahasan Matematika Matriks (1-5)
*Semoga Bermanfaat*
Soal dan Pembahasan Notasi Sigma (1-5)
Notasi Sigma adalah jumlah dari fungsi yang domainnya telah ditentukan batas awal dan batas akhirnya.
Notasi Sigma dilambangkan dengan Ī£.
Adapun sifat-sifat Notasi Sigma yakni:
Kami telah mewarnai masing-masing sifat tersebut, guna lebih memudahkan untuk mengerjakan 5 soal di bawah ini.
1.
Penyelesaian:
2. Buatlah notasi sigma dari 3 – 5 + 7 – 9 + 11 – 13
Penyelesaian:
3.
Penyelesaian:
4.
Penyelesaian:
5.
Penyelesaian:
Notasi Sigma dilambangkan dengan Ī£.
Adapun sifat-sifat Notasi Sigma yakni:
Kami telah mewarnai masing-masing sifat tersebut, guna lebih memudahkan untuk mengerjakan 5 soal di bawah ini.
1.
Penyelesaian:
2. Buatlah notasi sigma dari 3 – 5 + 7 – 9 + 11 – 13
Penyelesaian:
3.
Penyelesaian:
4.
Penyelesaian:
5.
Penyelesaian:
*Semoga Bermanfaat*
Soal dan Pembahasan Matematika Suku Banyak (1-5)
Suku Banyak atau Polinom adalah suatu
fungsi dimana memiliki satu variabel/peubah dan variabel/peubah tersebut
memiliki derajat pangkat lebih dari 2.
Dalam Suku Banyak, konsep yang mesti dipahami adalah:
1. Jika x^3 + ax + b habis dibagi x^2 + x + 1, maka nilai a dan b adalah…
Penyelesaian:
2. Suku banyak f(x) = x^4 – 3x^3 – 5x^2 + x – 6 dibagi (x – 2)(x + 1) bersisa…
Penyelesaian:
3. Diketahui suku banyak f(x) = ax^2013 + bx^2011 – 2012, dengan a dan b konstanta tertentu. Jika f(x) dibagi (x – 2012) bersisa 2012, maka f(x) dibagi (x + 2012) bersisa…
Penyelesaian:
4. Diketahui suku banyak f(x) dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Sedangkan suku banyak g(x) dibagi (x + 1) bersisa -9 dan dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x)=f(x).g(x), maka sisa suku banyak h(x) dibagi x^2 – 2x – 3 adalah…
Penyelesaian:
5. Diketahui (x – 1) dan (x – 2) adalah faktor-faktor dari suku banyak f(x) = x^3 + ax^2 – 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2 dan x3, untuk x1 > x2 > x3, maka x1 – x2 – x3 adalah…
Penyelesaian:
Dalam Suku Banyak, konsep yang mesti dipahami adalah:
- Bagaimana membagi Suku Banyak dengan Pembagi yang akan menghasilkan Hasil Bagi dan Sisa.
- Teorema Sisa, yakni mencari sisa pembagian Suku Banyak dengan beragam bentuk Pembagi.
- Teorema Faktor, yakni nilai variabel yang akan menghasilkan nol pada Suku Banyak.
- Hubungan akar-akar Suku Banyak tersebut.
1. Jika x^3 + ax + b habis dibagi x^2 + x + 1, maka nilai a dan b adalah…
Penyelesaian:
2. Suku banyak f(x) = x^4 – 3x^3 – 5x^2 + x – 6 dibagi (x – 2)(x + 1) bersisa…
Penyelesaian:
3. Diketahui suku banyak f(x) = ax^2013 + bx^2011 – 2012, dengan a dan b konstanta tertentu. Jika f(x) dibagi (x – 2012) bersisa 2012, maka f(x) dibagi (x + 2012) bersisa…
Penyelesaian:
4. Diketahui suku banyak f(x) dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Sedangkan suku banyak g(x) dibagi (x + 1) bersisa -9 dan dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x)=f(x).g(x), maka sisa suku banyak h(x) dibagi x^2 – 2x – 3 adalah…
Penyelesaian:
5. Diketahui (x – 1) dan (x – 2) adalah faktor-faktor dari suku banyak f(x) = x^3 + ax^2 – 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2 dan x3, untuk x1 > x2 > x3, maka x1 – x2 – x3 adalah…
Penyelesaian:
*Semoga Bermanfaat*
Soal dan Pembahasan Operasi Unik Bilangan (7-12)
Untuk operasi unik bilangan (1-6), silahkan cek di sini
7. Jika 3x + 2 habis dibagi 7, maka bentuk berikut yang juga habis dibagi 7 adalah…
a. 15x² + 11x + 14 d. 15x² – 11x – 14
b. 15x² – 11x + 14 e. 11x² – 15x + 14
c. 15x² + 11x – 14
Penyelesaian:
8. Diketahui persamaan a² + a + 1 = 0, maka nilai a^8 + 1/(a^8) adalah…
Penyelesaian:
9. Bentuk sederhana dari (x-1)^4 + 4(x-1)^3 + 6(x-1)² + 4(x-1) + 1 adalah…
Penyelesaian:
10. f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4 dan f(5) = 5. Maka a =…
Penyelesaian:
11. Jumlah semua bilangan bulat antara 1 dan 100 jika dibagi 6 maka bersisa 2 adalah…
Penyelesaian:
12. Jika m dan c adalah bilangan real yang memenuhi mc > 0 dan y = mx + c maka titik dibawah ini yang tidak mungkin adalah…
a. (0,2010) b. (0,-2010) c. (5,402) d. (5,-402) e. (2010,0)
Penyelesaian:
7. Jika 3x + 2 habis dibagi 7, maka bentuk berikut yang juga habis dibagi 7 adalah…
a. 15x² + 11x + 14 d. 15x² – 11x – 14
b. 15x² – 11x + 14 e. 11x² – 15x + 14
c. 15x² + 11x – 14
Penyelesaian:
8. Diketahui persamaan a² + a + 1 = 0, maka nilai a^8 + 1/(a^8) adalah…
Penyelesaian:
9. Bentuk sederhana dari (x-1)^4 + 4(x-1)^3 + 6(x-1)² + 4(x-1) + 1 adalah…
Penyelesaian:
10. f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4 dan f(5) = 5. Maka a =…
Penyelesaian:
11. Jumlah semua bilangan bulat antara 1 dan 100 jika dibagi 6 maka bersisa 2 adalah…
Penyelesaian:
12. Jika m dan c adalah bilangan real yang memenuhi mc > 0 dan y = mx + c maka titik dibawah ini yang tidak mungkin adalah…
a. (0,2010) b. (0,-2010) c. (5,402) d. (5,-402) e. (2010,0)
Penyelesaian:
*Semoga Bermanfaat*
Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran (4-5)
Untuk 3 soal persamaan lingkaran sebelumnya, cek di sini
Biasanya pada sebuah soal menentukan persamaan lingkaran, telah dilampirkan titik pusat, jari-jari atau titik yang dilalui lingkaran sebagai apa yang diketahui pada soal. Namun, dua buah soal yang akan kami bahas kali ini adalah menentukan persamaan lingkaran dimana pusat lingkaran dan jari-jari tidak disertakan dan titik yang dilalui lingkaran-pun, secara tidak langsung telah disamarkan. Lalu, bagaimana cara memecahkannya?
Perhatikan pembahasannya berikut ini:
4. Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi tempat kedudukan titik P(x,y), yang memenuhi persamaan PB = 2PA. Jika titik A(2,0) dan titik B(8,0)?
Penyelesaian:
Jadi persamaan lingkarannya: x² + y² = 16
5. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titikP(3 + 2cos a , -1 +2sin a), jika a berubah dari o sampai 2phi?
Penyelesaian:
Biasanya pada sebuah soal menentukan persamaan lingkaran, telah dilampirkan titik pusat, jari-jari atau titik yang dilalui lingkaran sebagai apa yang diketahui pada soal. Namun, dua buah soal yang akan kami bahas kali ini adalah menentukan persamaan lingkaran dimana pusat lingkaran dan jari-jari tidak disertakan dan titik yang dilalui lingkaran-pun, secara tidak langsung telah disamarkan. Lalu, bagaimana cara memecahkannya?
Perhatikan pembahasannya berikut ini:
4. Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi tempat kedudukan titik P(x,y), yang memenuhi persamaan PB = 2PA. Jika titik A(2,0) dan titik B(8,0)?
Penyelesaian:
Jadi persamaan lingkarannya: x² + y² = 165. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titikP(3 + 2cos a , -1 +2sin a), jika a berubah dari o sampai 2phi?
Penyelesaian:
*Semoga Bermanfaat*
bisa ga' dibantu solusi pembahasan dari soal " apakah 2012^2012 + 2014^2012 habis dibagi 2013^2.
BalasHapusbisa ga' dibantu solusi pembahasan dari soal " apakah 2012^2012 + 2014^2012 habis dibagi 2013^2.
BalasHapus